Econometria III

Introdução

• Até agora nos preocupamos apenas com modelos de regressão com uma única equação

• Modelos em que há uma única variável dependente e uma ou mais variáveis explicativas

• Nesses modelos, o foco foi a estimação do valor médio da variável resposta (dependente), condicionado aos valores das variáveis explicativas (regressores).

• A relação de causa e efeito, nesses modelos, se existir, vai das variáveis explicativas para a variável resposta

Introdução

• Porém, existem casos onde essa relação unidirecional não faz sentido econômico

• Isso ocorre quando a variável resposta é determinada por um grupo de variáveis explicativas onde algumas são, por sua vez, determinadas pela variável resposta.

• Temos determinação simultânea de variáveis econômicas

• Também pode ser entendida como causalidade reversa

Introdução

• Há uma relação simultânea, entre a variável resposta e alguns regressores endógenos, o que torna a distinção entre variáveis dependentes e independentes duvidosa.

• Agrupamos o conjunto de variáveis que possam ser determinadas simultaneamente exatamente como se faz em modelos de equações.

• Assim, nos modelos de equações simultâneas há mais de uma equação – uma para cada variável endógena.

Exemplo

Oferta e Demanda

• O preço P de um bem e a quantidade Q vendida são determinados pela intersecção das curvas de demanda e oferta desse bem.

• Para simplificar, vamos supor que as curvas de oferta e demanda sejam lineares e, ainda, acrescentando os choques aleatórios, \(u_1\) e \(u_2\) , podemos escrever as equações de oferta e demanda empíricas como: \[ \begin{aligned} Q^d&=\alpha_1+\alpha_2 P + u_1, &\alpha_2<0\\ Q^o&=\beta_1+\beta_2 P + u_2, &\beta_2>0\\ Q^d&=Q^o=Q \end{aligned} \]

Exemplo

Oferta e Demanda

Exemplo

Oferta e Demanda

• \(\underbrace{\alpha_1+\alpha_2 P + u_1}_{Q^d} = \underbrace{\beta_1+\beta_2 P + u_2}_{Q^o}\)

• Condição de equilíbrio \[P=\underbrace{\frac{\alpha_1-\beta_1}{\beta_2-\alpha_2}}_{\pi_1}+\underbrace{\frac{u_1-u_2}{\beta_2-\alpha_2}}_{v_1}\]

• Fica claro que P contém o termo de erro \(u_1\) (e \(u_2\)!), logo não pode ser exógeno em nenhuma das duas equações

• O mesmo procedimento pode ser feito para Q

Viés de Simultaneidade

• Simultaneidade ocorre quando uma ou mais variáveis explicativas são determinadas conjuntamente com a variável dependente

• Quando há simultaneidade, o método MQO gera estimadores viesados e inconsistentes.

• Regressores não são exógenos! \(E[u\mid X]\neq 0\)

Viés de Simultaneidade no MQO

\[ \begin{aligned} y_1&=\alpha_1y_2+\beta_1z_1+u_1\\ y_2&=\alpha_2y_1+\beta_2z_2+u_2 \end{aligned} \]

• Vamos nos concentrar em estimar a primeira equação.

• Para dar interpretação causal e estimar por MQO, \(y_2\) deve ser não correlacionada com \(u_1\)

• Substituindo \(y_2\) na primeira equação \[(1-\alpha_1\alpha_2)y_2=\alpha_2\beta_1z_1+\beta_2z_2+\alpha_2u_1+u_2,\qquad \text{ hipótese: }\alpha_1\alpha_2\neq 1\]

• \(y_2=\pi_{21}z_1+\pi_{22}z_2+v_2\)

• \(v_2=(\alpha_2u_1+u_2)/((1-\alpha_1\alpha_2))\)

• Ou seja, \(y_2\) contém em seu termo de erro \(v_2\) o erro \(u_1\)!!

  • Exceção: \(\alpha_2=0\) quando \(u_1\perp u_2\). Equações desacopladas

Viés de Simultaneidade no MQO

• Quando \(y_2\) for correlacionado com \(u_1\) em virtude das equações simultâneas, dizemos que MQO sofre de viés de simultaneidade

• A direção do viés pode ser complicada em modelos mais complexos

• Partimos da covariância de \(y_2\) com \(u_1\)

Problema de Identificação

Por problema de identificação entendemos a possibilidade de recuperar os parâmetros de uma equação estrutural a partir dos coeficientes estimados na forma reduzida.

• Equação estrutural é aquela que retrata a estrutura de uma economia ou o comportamento de um agente econômico. Exemplos: curva de oferta e demanda

• Forma reduzida é a equação que expressa uma variável endógena apenas em termos das variáveis exógenas e dos termos de erros estocásticos.

  • Exemplo anterior: \(y_2=\pi_{21}z_1+\pi_{22}z_2+v_2\)

• A equação estrutural é identificada quando a recuperação de todos os seus parâmetros puder ser feita com base nos parâmetros estimados da forma reduzida.

Problema de Identificação

• O problema de identificação surge pois uma equação na forma reduzida pode ser compatível com diferentes equações estruturais ou diferentes hipóteses (modelos)

• Dessa forma, não é possível dizer qual modelo específico está sob investigação.

• Maneira fácil de saber: forma reduzida possui menos parâmetros que as equações estruturais

Exemplo de (Não) Identificação

Voltamos ao nosso exemplo. As formas reduzidas são: \[ \begin{aligned} P&=\pi_1+v_1\\ Q&=\pi_2+v_2, \end{aligned} \] onde

\(\pi_1=\frac{\alpha_1-\beta_1}{\beta_2-\alpha_2}\), \(v_1=\frac{u_1-u_2}{\beta_2-\alpha_2}\), \(\pi_2=\frac{\alpha_1\beta_2-\alpha_2\beta_1}{\beta_2-\alpha_2}\) e \(v_2=\frac{\beta_2 u_1 - \alpha_2 u_2}{\beta_2-\alpha_2}\)

• A forma reduzida provê apenas 2 parâmetros, \(\pi_1\) e \(\pi_2\)

• Nossas equações estruturais possuem 4 parâmetros, \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\).

• Portanto, não é possível calcular os parâmetros estruturais a partir dos coeficientes estimados na forma reduzida

Condição de Classificação

• Não temos nenhuma variável exógena neste modelo! A condição de classificação não é satisfeita

• Equações estruturais não identificadas (ou subidentificadas)

Condição de Classificação

• Alteramos o modelo incluindo a renda Y e assumindo que esta seja exógena \[ \begin{aligned} Q^d&=\alpha_1+\alpha_2 P + \gamma_1 Y + u_1, &\alpha_2<0\\ Q^o&=\beta_1+\beta_2 P + u_2, &\beta_2>0\\ Q^d&=Q^o=Q \end{aligned} \]

• Qual das equações estruturais passa a ser identificada?

• É a equação de oferta! Uma equação é identificada se a outra equação do modelo possuir uma variável exógena

• Renda exógena funciona como uma variável de deslocamento (shifter) da demanda

• Variações exógenas de demanda permitem identificar a curva de oferta

Condição de Classificação

# Custom data
q = np.arange(1, 21)
ps = 1 + 0.8 * q
pd1 = 10 - 1.2 * q
# Make a plot of one supply curve and 4 demand curves shifted
# to the right using matplotlib object-oriented API
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 9))
ax.plot(q, ps, label="Oferta")
ax.plot(q, pd1, label="Demanda", color="red")
ax.plot(q, 15 - 1.2 * q, color="red")
ax.plot(q, 20 - 1.2 * q, color="red")
ax.plot(q, 25 - 1.2 * q, color="red")
ax.set_xlabel("Q")
ax.set_ylabel("P")
ax.set_ylim(0, 25)
ax.legend()
# Add arrows to show the shift of the demand curve
ax.annotate(
    "",
    xy=(5, 7.5),
    xytext=(2.5, 7.5),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="grey"),
)
ax.annotate(
    "",
    xy=(7.5, 9.5),
    xytext=(5, 9.5),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="grey"),
)
ax.annotate(
    "",
    xy=(10, 11.5),
    xytext=(7.5, 11.5),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="grey"),
)

plt.show()

Exemplo

Taxas de Assassinatos e Força Policial

• Esperamos que o tamanho da força policial em um determinado município, reduza a criminalidade. Um simples modelo pode ser \[assaspc=\alpha_1 polpc+\beta_{10}+\beta_{11}rendapc+u_1\]

• A pergunta de pesquisa é: qual o efeito do aumento da força policial no número de assassinatos per capita?

• Vejam que a pergunta é causal e portanto, necessitamos de exogeneidade na variação do policiamento

Exemplo

Taxas de Assassinatos e Força Policial

• É fácil imaginar que não, não é o caso do policiamento ser exógeno em relação ao número de assassinatos em um município

• O tamanho da força policial responde ao índice de criminalidade! \[polpc=\alpha_2 assaspc+\beta_{20}+u_2\]

• Qual o sinal esperado de \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\)?

• É possível interpretar diretamente a primeira equação de forma causal?

• Qual(is) das equações estruturais são identificadas

Exemplo

• E se a renda também estiver incluída na força policial ? \[ \begin{aligned} assaspc&=\alpha_1 polpc+\beta_{10}+\beta_{11}rendapc+u_1\\ polpc&=\alpha_2 assaspc+\beta_{20}+\beta_{21}rendapc+u_2 \end{aligned} \]

• Ainda teremos identificação de alguma das equações estruturais ❓

• Não mais! Apesar da renda ser exógena nas duas equações estruturais, ela não atende a restrição de exclusão

Exemplo

ps2 = 4 + 0.8 * q
pd2 = 15 - 1.2 * q

# Compute equilibrium os ps and pd, and ps2 and pd2
qeq = (1 - 10) / (-1.2 - 0.8)
peq = 1 + 0.8 * qeq
qeq2 = (4 - 15) / (-1.2 - 0.8)
peq2 = 4 + 0.8 * qeq2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 9))
ax.plot(q, ps, label="Oferta", color="blue")
ax.plot(q, pd1, label="Demanda", color="red")
ax.plot(q, pd2, color="darkred")
ax.plot(q, ps2, color="darkblue")
ax.scatter(qeq, peq, color="black")
ax.scatter(qeq2, peq2, color="black")
ax.set_xlabel("Q")
ax.set_ylabel("P")
ax.set_ylim(0, 15)
ax.set_xlim(0, 15)
ax.legend()
ax.annotate(
    "",
    xy=(4.5, 8.5),
    xytext=(2, 8.5),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="grey"),
)
ax.annotate(
    "",
    xy=(7.5, 9),
    xytext=(7.5, 7.5),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="grey"),
)

Text(7.5, 7.5, '')

Estimação de Modelos de Equações Simultâneas

• Uma vez que temos um sistema (ou pelo menos uma das equações) identificável, como estimar seus parâmetros?

• Já sabemos como fazê-lo

  Através de Mínimos Quadrados em 2 Estágios

• Variáveis exógenas servirão como instrumentos para as variáveis endógenas

Exemplo MQ2E

Oferta de Trabalho de Mulheres Casadas que Trabalham

\[ \begin{aligned} hours&=\alpha_1 lwage + \beta_{10}+ \beta_{11}educ+\beta_{12}age+\beta_{13}kidslt6+\beta_{14}nwifeinc+u_1\\ lwage&=\alpha_2 hours + \beta_{20}+ \beta_{21}educ+ \beta_{22}exper+\beta_{23}exper^2+ u_2 \end{aligned} \]

• Hipóteses: apenas hours e lwage são endógenas

  • educ poderia ser endógena. Ignore para efeitos de ilustração

• Condição de classificação é satisfeita se \(\beta_{22}\neq 0\) ou \(\beta_{23}\neq 0\)

• Testamos através da forma reduzida da segunda equação

Exemplo MQ2E

Oferta de Trabalho de Mulheres Casadas - 1º Estágio

import wooldridge as woo
import linearmodels.iv as iv

mroz = woo.dataWoo("mroz").dropna()

reg_1st = iv.IV2SLS.from_formula(
    "lwage ~ 1 + educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + expersq",
    data=mroz,
).fit(cov_type="robust")

df = compare_df({"1º Estágio": reg_1st})
# style df to print in small font
df.style.set_table_attributes('style="font-size: 18pt; text-align: center"')

Exemplo MQ2E

Oferta de Trabalho de Mulheres Casadas - MQ2E

reg_mqo = iv.IV2SLS.from_formula(
    "hours ~ 1 + lwage + educ + age + kidslt6 + nwifeinc",
    data=mroz,
).fit(cov_type="robust")

reg_vi = iv.IV2SLS.from_formula(
    "hours ~ 1 + educ + age + kidslt6 + nwifeinc + [lwage ~ exper + expersq]",
    data=mroz,
).fit(cov_type="robust")

df = compare_df({"MQO": reg_mqo, "VI": reg_vi})
df.style.set_table_attributes('style="font-size: 18pt; text-align: center"')

Sistemas com mais de 2 Equações

\[ \begin{aligned} y_1&=\alpha_{12}y_2+\alpha_{13}y_3+\beta_{11}z_1+u_1\\ y_2&=\alpha_{21}y_1+\beta_{21}z_1+\beta_{22}z_2+\beta_{23}z_3+u_2\\ y_3&=\alpha_{32}y_2+\beta_{31}z_1+\beta_{32}z_2+\beta_{33}z_3+\beta_{34}z_4+u_3 \end{aligned} \]

• Geralmente complicado mostrar que é identificada

• Fácil verificar equações que não são identificadas

• Qual destas equações claramente não é identificada ❓

• Na terceira equação não existe VI possível para \(y_2\)

• As outras duas equações possuem VI potenciais (exógenas excluídas da eq. estrutural)

Condição de Ordem Geral

Em um modelo de M equações simultâneas, para que uma equação seja identificada, o número de variáveis exógenas (ou predeterminadas) excluídas da equação não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1

• M – número de variáveis endógenas no modelo
• m – número de variáveis endógenas em uma dada equação
• K – número de variáveis exógenas no modelo
• k – número de variáveis exógenas em uma dada equação

• Observações:
  • A variável dependente faz parte da contagem de endógenas
  • Na igualdade dizemos que a equação é exatamente identificada
  • A condição de ordem é necessária para a identificação mas não é suficiente.

Exemplo

\[ \begin{aligned} y_1&=\alpha_{12}y_2+\alpha_{13}y_3+\beta_{11}z_1+u_1\\ y_2&=\alpha_{21}y_1+\beta_{21}z_1+\beta_{22}z_2+\beta_{23}z_3+u_2\\ y_3&=\alpha_{32}y_2+\beta_{31}z_1+\beta_{32}z_2+\beta_{33}z_3+\beta_{34}z_4+u_3 \end{aligned} \]

• Suponha que todos os \(\beta\) sejam diferentes de zero

• \(M=3\), \(K=4\)

• Eq. 1: \(m=3\), \(k=1\). Logo, \(4-1>3-1\). Condição de ordem é atendida com desigualdade estrita. Equação é sobreidentificada

• Eq. 2 ❓

Equações Simultâneas com Séries Temporais

• Uma das aplicações mais antigas de SEM, grandes modelos macroeconômicos

• Modelo Keynesiano de demanda agregada (economia fechada) \[ \begin{aligned} C_t&=\beta_0+\beta_1(Y_t-T_t)+\beta_2 r_t+\beta_3 C_{t-1}+u_{1t}\\ I_t&=\gamma_0+\gamma_1r_t+\gamma_2 Y_{t-1}+u_{2t}\\ Y_t&\equiv C_t+I_t+G_t \end{aligned} \]

• \(C_t, I_t, Y_t\) são endógenas

• Variáveis defasadas são chamadas de variáveis predeterminadas

• Variáveis predeterminadas podem ser consideradas exógenas sob a condição de exogeneidade estrita dos erros. \(u_t\perp X_t\) e \(u_t \perp Y_{t-i}, X_{t-i}, i=1,\ldots, T\)

Equações Simultâneas com Séries Temporais

• Como poderíamos estimar as equações deste modelo? \[ \begin{aligned} C_t&=\beta_0+\beta_1(Y_t-T_t)+\beta_2 r_t+\beta_3 C_{t-1}+u_{1t}\\ I_t&=\gamma_0+\gamma_1r_t+\gamma_2 Y_{t-1}+u_{2t}\\ Y_t&\equiv C_t+I_t+G_t \end{aligned} \]

• A equação do investimento \(I_t\) possui apenas variáveis exógenas ou predeterminadas. Assumindo exogeneidade estrita, é possível estimar via MQO

• A equação do consumo \(C_t\) necessita instrumentalização da renda \(Y_t\). MQ2E onde os instrumentos serão as variáveis exógenas e predeterminadas excluídas da equação

Exemplo

Hipótese da Renda Permanete

• Vamos usar VI para testar a Hipótese da Renda Permanente (HRP)

\[cc_t=\beta_0+\beta_1 cy_t + \beta_2 r3_t + u_t\]

• \(cc_t=\Delta\log(c_t)\) é o crescimento anual do consumo per capita real. \(y_t\) denota a renda disponível e \(r3_t\) a taxa de juros real

• HRP pura implica em \(\beta_1=\beta_2=0\). Caso contrário alguma parte da população estaria consumindo renda corrente

• Muito embora o valor esperado do erro, condicional a todo o conjunto de informação até o período anterior seja zero, \(E[u_t\mid \Omega_{t-1}]\)

• Consumo, Renda e Juros ainda podem ser entendidos como simultaneamente determinados

Exemplo

Hipótese da Renda Permanete

Como \(u_t\) não é correlacionado com \(cc_{t-1}, cy_{t-1}\) e \(r3_{t-1}\), estas são candidatas a variável instrumental

consump = woo.dataWoo("consump").dropna()

reg = iv.IV2SLS.from_formula(
    "gc ~ 1 + [gy + r3 ~ gc_1 + gy_1 + r3_1]",
    data=consump,
).fit(cov_type="robust")

df = compare_df({"MQ2E": reg}, fit_stats=["No. Observations"])
df.style.set_table_attributes('style="font-size: 20pt; text-align: center"')

• Neste caso rejeitamos a HRP pura

📚 Leitura Recomendada

• WOOLDRIDGE, Jeffrey M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. São Paulo: Cengage Learning, 2016. Tradução da 4ª edição norte-americana por José Antonio Ferreira.

• GUJARATI, Damodar N.; PORTER, Dawn C. Econometria básica. Porto Alegre: Amgh Editora, 2011. - 5. ed. 

• HANSEN, Bruce E. Econometrics. Manuscript, revision of February 2020.

• ANGRIST, Joshua D.; PISCHKE, Jörn-Steffen. Mostly harmless econometrics: An empiricist’s companion. Princeton university press, 2009.

ATÉ A PRÓXIMA AULA!